【密码专栏】超强进阶：PLONK VS Groth16（上）_趣链科技桔子_火星财经

　　PLONK中，上图电路的描述由两部分组成：门约束与线约束（copy constraints）。门约束固定电路中每个门的动作。此外，在电路中我们规定相连线的值应保持一致（例如a1=b1），对此线约束规定这些线的关系。接下来我们分别讨论两类约束的多项式表示。

　　门约束

　　在PLONK中，对于第i个门，可被描述为如下形式：

　　（QLi)ai+(QRi)bi+(QOi)ci+(QMi)aibi+Qci=0

　　其中Q均为常数，a, b, c则是信号的下标。具体地，在PLONK中门约束可以被分为三类：算术约束（加法门和乘法门）、布尔约束、公共输入约束。

　　【算术约束】最为常见，用于表示电路中的所有加法门和乘法门，此时a,b,c分别表示门的左右输入和输出信号下标，Q_C一般为0。根据门的类型剩余的符号有不同的取值：

• 　　加法门：QLi=1，QRi=1，QOi=-1，QMi=0

• 　　ai+bi-ci=0

• 　　乘法门：QLi=0，QRi=0，QOi=-1，QMi=1

　　-ci+ aibi=0

　　【布尔约束】顾名思义，用于约束布尔类型的信号，其值只能取0或1。例如现在需要约束下标为j的信号∈{0, 1}，那么门约束式子中各变量的取值为：

　　ai=bi=j，QLi=-1，QMi=1，QOi=QRi=Qci=0

　　-j+j*j=0

　　另外，针对问题中出现的证明方和验证方都知道取值的输入（公共输入），需要在约束系统中有所体现。例如要求约束下标j的信号取值为v，对应的取值为：

　　ai=j，QLi=1，QMi=QOi=QOi=0，Qci=-v

　　j-v=0

　　利用该式，我们可以很容易地表示上图中的所有门约束：

　　与Groth16类似，可以将所有的多项式组整合在一个多项式中：

　　线约束

　　线约束可以分为两种情况：

　　同一多项式内部，例如：a1=a3

　　不同多项式之间，例如：a1=b1

　　当只需要考虑情况1时，可以通过构造p(x)=P(x)来实现约束：

　　X(X)=X

　　p(X+1)=p(X)*(β*X(X))+Y(X)+γ）

　　P(X+1)=P(X)*(β*X(σ(X))+Y(X)+γ）

　　p(0)=P(0)=1

　　其中β,γ为随机数，X->Y表示了待约束的多项式（例如: x-> a(x) ），P(x)使用了x的置换σ(x)。对于下面例子：

　　X(1) → Y(1)

　　X →Y：X(2) → Y(2) and，Y(1)=Y(3)

　　X(3) → Y(3)

　　σ(1)=3

　　σ(X)：σ(2)=2

　　σ(3)=1

　　当且仅当Y(1)=Y(3)成立时，p(x)=P(x)。

　　现在，让我们增加问题的复杂度：需要约束的多项式个数为k时（仍然只考虑情况1）。自然地，设门的总数为n，我们可以对第j个多项式构造对应的p_j(x)=P_j(x)，即

　　进一步地，情况2的出现要求对以下情况中的x作区分：

　　pj(x) and pi(x) （i不等于j，i，j∈[ n ]）

　　那么可以增加对x的映射，对于第j个多项式：

　　X(X)=(j-1)*n+X

　　p(X+1)=p(X)*(β*X(X))+Y(X)+γ）

　　P(X+1)=P(X)*(β*X(σ(X))+Y(X)+γ）

　　p(0)=P(0)=1

　　以上就是线约束的全部内容，其实质是为了保证电路中同一条或相连线上的值相等。

　　与Groth16类似，将上述的约束联立将得到一个完整的PLONK约束系统。通过将抽象的代码和电路转化为约束系统R1CS，我们可以将一个零知识证明问题固定下来。让我们带着问题进入下篇：PLONK中如何将R1CS转为多项式描述？它与Groth16做法区别在何处？敬请期待！

　　[2] Sean Bowe and Ariel Gabizon and Ian Miers. (2017). Scalable Multi-party Computation for zk-SNARK Parameters in the Random Beacon Model.

　　[3] https://vitalik.ca/general/2019/09/22/plonk.html

　　本文来源：趣链科技桔子

　　原文标题：【密码专栏】超强进阶：PLONK VS Groth16（上）

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